مدتی است که خبرهای مربوط به شیوع نوع جدیدی از آنفلوآنزا به نام آنفلوآنزای خوکی توجه عده زیادی را به خود جلب کرده است. این نخستین‌بار نیست که یک بیماری واگیردار در جامعه‌ای همه‌گیر و کنترل آن برای حفظ سلامت جامعه مهم می‌شود و البته آخرین‌بار نیز نخواهد بود. در مطلب امروز، به بررسی مدل‌های ریاضی که روش و سرعت شیوع بیماری‌های واگیردار را توضیح می‌دهند خواهیم پرداخت و مثال‌هایی از بیماری‌های واگیردار شایع در طول تاریخ مثل سرخک و مالاریا خواهیم گفت.
ریاضیات بیماری
بیماری یکی از مسائل همه‌گیر زندگی انسانی است. بسیاری از بیماری‌ها مثل سرماخوردگی معمولی، نشانگان چندانی ندارند و تقریبا به یک‌جور دردسر بیشتر شبیه هستند، اما بعضی دیگر از بیماری‌ها مثل ابولا یا ایدز زندگی ما را پر از وحشت کرده‌اند.
این طبیعت نادیدنی و غیرقابل پیش‌بینی بیماری که بعضی را درگیر می‌کند و بعضی‌ها از آن نجات پیدا می‌کنند، است که تخیل ما را به خود جلب می‌کند. می‌شود گفت از ماقبل تاریخ تا همین امروز، مریضی و بیماری منبع ترس و خرافات بوده است. اما در یکصد سال اخیر ریاضیدان‌ها سعی کرده‌اند نحوه پخش و انتشار بیماری‌ها را بفهمند. آنها این کار را با ربط دادن جنبه‌های مهم سلامتی عمومی به پارامترهای اصلی آلودگی انجام می‌دهند.
در اینجا ما بعضی از ساده‌ترین مدل‌های بیماری را بررسی کرده و سعی می‌کنیم بفهمیم ریاضیات در راه کمک به سلامتی مردم چه گام‌هایی برداشته است، اما قبل از آن، حتما می‌دانید که بیماری‌ها به چند طریق و چه شکلی به انسان منتقل می‌شوند.
برای شروع بیایید به داستان زیر توجه کنیم. شما تازه به بیمارستانی نزدیک یک پارک جنگلی بزرگ رسیده‌اید که در آن همه اعضای دو خانواده که چادر زده بودند، جز دو نفر بیمار شده‌اند. اگر قرار باشد شما علت بیماری را پیدا کنید باید با بیمارها مصاحبه کنید و بعد نتایج جمع‌آوری شده را بررسی کنید تا بالاخره از همه چیز سر درآورید. پرسیدن سؤالات مشترکی درباره مکان‌هایی که افراد مبتلا و افراد سالم در آنها حضور داشته‌اند، فعالیت‌های مختلفی که انجام داده‌اند و افرادی که با آنها سر و کار داشته‌اند به شما کمک می‌کند درکی از نحوه و دلیل شیوع بیماری به دست آورید. ریاضیات بیماری، موضوعی وابسته به داده‌هاست. کلید اصلی حل معماهای این رشته ربط دادن مدل‌های ریاضی با داده‌های تجربی است. این داده‌ها، ردپای آثار اجتماعی مثل تغییرات نرخ تولد یا افزایش میزان تماس آدم‌ها مثلا در زمان مدرسه را هم نشان می‌دهد. بنابراین حل کامل مسأله دینامیک بیماری (یعنی نحوه تغییرات بیماری) به ابزارهای ریاضی زیادی از خلق مدل گرفته تا حل معادلات دیفرانسیل و آنالیز آماری احتیاج دارد.
مدل‌های اساسی
تقریبا تمام مدل‌های بیماری از یک فرض اساسی شروع می‌شوند: اینکه جمعیت را می‌توان به مجموعه‌ای از کلاس‌های مشخص افراز کرد که مبنای آن تجربه‌های متفاوت مردم نسبت به بیماری است. ساده‌ترین مدل، افراد را به سه دسته مستعد، آلوده یا بهبود یافته تقسیم می‌کند. به این مدل SIR می‌گویند که از اول این کلمات گرفته شده است.
همه افراد، در حالت مستعد به دنیا می‌آیند. فرد مستعد به مریضی تا به حال با آن بیماری تماس نداشته و احتمال ابتلا به آن را دارد. فرد مبتلا در طبقه افراد آلوده جا‌می‌گیرد که می‌توانند بیماری را بین افراد مستعد پخش کنند و تا پایان دوره آلودگی در همین دسته باقی می‌ماند. با خوب شدن، فرد به دسته بهبودیافته نقل مکان می‌کند. در آخر هم فرض می‌شود که افراد بهبود یافته تا پایان عمر نسبت به بیماری مصونیت دارند.
ما می‌توانیم با استفاده از معادلات دیفرانسیل برای نسبت افراد در هر گروه، این مسأله را به شکل ریاضی بیان کنیم. اگر خیلی ریاضیات می‌فهمید و به جزئیات ماجرا علاقه دارید، برایتان این معادله‌ها را می‌گذاریم که نسبت‌های جمعیت را در سه دسته توصیف می‌کنند:
در اینجا B نرخ تولد، d نرخ مرگ،طول دوره بیماری و B نرخ تماس است. در اکثر مدل‌ها نرخ تولد و مرگ را برابر می‌گیرند و به این ترتیب مقدار جمعیت ثابت می‌ماند. با استفاده از این معادلات می‌توان شبیه‌سازی‌های کامپیوتری خلق کرد که البته با نوسانات واقعی بیماری توافق خوبی نشان می‌دهند. این نمودار را ببینید.
هر چند اول کار اپیدمی یا همه‌گیری شدیدی وجود دارد، اما به تدریج بیماری فروکش می‌کند و به یک میزان ثابت می‌رسد.
خب، حالا بیایید به این سؤال‌ها جواب بدهیم: چرا واکسن زدن ما را نجات می‌دهد و چه وقتی می‌گوییم یک بیماری ریشه‌کن شده است؟
چرا واکسن زدن خوب است؟
پارامتر اپیدمی Ro
استفاده از مدل SIR ساده نتایج جالبی به ما می‌دهد، اما قبل از آن خوب است کمی بیشتر با اصطلاحات اپیدمی‌شناسی آشنا بشویم. یک پارامتر اساسی که انتشار بیماری را کنترل می‌کند Ro ، یا نسبت باز تولید پایه است. هول کردید؟ نه نترسید! تعریفش چیز ساده‌ای است. این نسبت یعنی «تعداد متوسط بیماری‌هایی که مستقیماً توسط یک فرد آلوده در یک جامعه کاملاً مستعد به وجود می‌آید» Ro بنابراین درباره نرخ اولیه افزایش بیماری در نسل اول انتشار به ما اطلاعات ارزنده‌ای می‌دهد. اگر Ro بزرگ‌تر از یک باشد، بیماری می‌تواند وارد جامعه مستعد به بیماری بشود و تعداد مریض‌ها رشد خواهد کرد، در حالی‌که اگر Ro کوچک‌تر از یک باشد، بیماری هیچ وقت منتشر نخواهد شد. پس در ساده‌ترین حالت Ro به ما می‌گوید که هر جامعه‌ای تا چه حد در معرض خطر یک بیماری خاص است.
استفاده دیگر Ro در بررسی رفتار شیوع یک بیماری است. موردی را در نظر بگیرید که در آن یک ویروس تازه آنفلوآنزا وارد یک جامعه کاملا مستعد شده است. بررسی اولیه به ما می‌گوید که بیماری به سرعت در میان جامعه پخش خواهد شد و بخش بزرگی از جمعیت را در زمان بسیار کوتاهی آلوده خواهد کرد. در چنین حالتی می‌توان از اثر تولد و مرگ‌ها روی جمعیت صرفنظر کرد و صرفاً بر دینامیک بیماری تمرکز کرد. در چنین اپیدمی‌های کوتاه‌مدتی، در ابتدا تعداد بیماری‌ها به صورت نمایی یعنی به شکل زیر افزایش خواهد یافت:
به این ترتیب هر چه تعداد افراد بهبودیافته بیشتر می‌شود، تعداد افراد مستعد کاهش می‌یابد و انتشار بیماری کندتر شده و تعداد بیماری‌ها کاهش می‌یابد. به خاطر همین کاهش همه افراد قبل از فروکش بیماری به آن مبتلا نخواهند شد. دو نفر ریاضیدان با استفاده از همین مدل پیش‌بینی کرده‌اند که در هر بیماری تعداد افرادی که جان سالم به در می‌برند یعنی اصلا مریض نمی‌شوند، چندتاست:
می‌بینید که چنین معادله‌ای را نمی‌توان به شکل تحلیلی حل کرد، اما یک حل گرافیکی برای آن وجود دارد. (یعنی با رسم همزمان دو نمودار). این نمودار را ببینید:
نقطه برخورد خط با منحنی‌ها جواب مسأله در حالات متفاوت است. روشن است که با افزایش Ro، افراد کمتری از بیماری فرار می‌کنند. وقتی Ro، مساوی 2 است S تقریباً 20درصد افراد است اما وقتی Ro مساوی 5 می‌شود، تقریباً به 7/0 درصد می‌رسد، بنابراین افزایش Ro اثر زیادی روی تعداد افرادی دارد که از شیوع، سالم بیرون می‌آیند.
در آخر، اگر شیوع بیماری‌های محلی را بررسی کنیم، مجبوریم تغییرات جمعیت را هم وارد مدل کنیم چون تولدها به تعداد افراد مستعد اضافه می‌کند. در این حالت، رفتار طولانی‌مدت بیماری متفاوت می‌شود اما همچنان به Ro بستگی دارد. وقتی نوسانات اولیه تمام می‌شود، نسبت بلندمدت افراد مستعد در جمعیت با معکوس Ro محاسبه می‌شود
بنابراین هر چه تعداد افراد مستعد کمتر باشد، بیماری با سرعت بیشتری منتشر می‌شود! جالب است توجه کنید که میزان بلندمدت آلودگی به پارامتر Ro بستگی ندارد بلکه به نرخ تولدها و طول دوره بیماری وابسته است.
از اینجا می‌شود مفهومی را که پشت واکسیناسیون عمومی قرار دارد، فهمید. واکسیناسیون تعداد افراد مستعد را کاهش می‌دهد تا بیماری نتواند زنده بماند. در بلندمدت، هر فرد آلوده به طور متوسط فقط یک بیماری ثانویه درست خواهد کرد. (اگر این عدد کمتر یا بیشتر از یک باشد میزان آلودگی ثابت نمی‌ماند و بیماری هم به وضع ثابتی نمی‌رسد) بنابراین اگر ما تعداد افراد مستعد را کاهش بدهیم، بیماری خیلی کم شده و تقریبا ریشه‌کن می‌شود.
خب، می‌بینید که چرا ما می‌توانیم مثلا بیماری آبله را ریشه‌کن کنیم در حالی‌که سرخک ریشه‌کن نمی‌شود و با وجود واکسیناسیون بسیار گسترده، مالاریا به سختی حتی قابل کنترل است. در اینجا باید درک کرد برای ریشه‌کن کردن بیماری، لازم نیست همه اعضای جامعه واکسینه شوند. در واقع با واکسن زدن هر فرد، خطر ابتلا به بیماری در دیگر افراد جامعه کم می‌شود، پس واکسن زدن همه جامعه را حفظ می‌کند!
شبیه‌سازی شیوع
بیماری‌های واگیردار
با ریاضیات به جنگ بیماری بروید
مدتی است که خبرهای مربوط به شیوع نوع جدیدی از آنفلوآنزا به نام آنفلوآنزای خوکی توجه عده زیادی را به خود جلب کرده است. این نخستین‌بار نیست که یک بیماری واگیردار در جامعه‌ای همه‌گیر و کنترل آن برای حفظ سلامت جامعه مهم می‌شود و البته آخرین‌بار نیز نخواهد بود. در مطلب امروز، به بررسی مدل‌های ریاضی که روش و سرعت شیوع بیماری‌های واگیردار را توضیح می‌دهند خواهیم پرداخت و مثال‌هایی از بیماری‌های واگیردار شایع در طول تاریخ مثل سرخک و مالاریا خواهیم گفت.
ریاضیات بیماری
بیماری یکی از مسائل همه‌گیر زندگی انسانی است. بسیاری از بیماری‌ها مثل سرماخوردگی معمولی، نشانگان چندانی ندارند و تقریبا به یک‌جور دردسر بیشتر شبیه هستند، اما بعضی دیگر از بیماری‌ها مثل ابولا یا ایدز زندگی ما را پر از وحشت کرده‌اند.
این طبیعت نادیدنی و غیرقابل پیش‌بینی بیماری که بعضی را درگیر می‌کند و بعضی‌ها از آن نجات پیدا می‌کنند، است که تخیل ما را به خود جلب می‌کند. می‌شود گفت از ماقبل تاریخ تا همین امروز، مریضی و بیماری منبع ترس و خرافات بوده است. اما در یکصد سال اخیر ریاضیدان‌ها سعی کرده‌اند نحوه پخش و انتشار بیماری‌ها را بفهمند. آنها این کار را با ربط دادن جنبه‌های مهم سلامتی عمومی به پارامترهای اصلی آلودگی انجام می‌دهند.
در اینجا ما بعضی از ساده‌ترین مدل‌های بیماری را بررسی کرده و سعی می‌کنیم بفهمیم ریاضیات در راه کمک به سلامتی مردم چه گام‌هایی برداشته است، اما قبل از آن، حتما می‌دانید که بیماری‌ها به چند طریق و چه شکلی به انسان منتقل می‌شوند.
برای شروع بیایید به داستان زیر توجه کنیم. شما تازه به بیمارستانی نزدیک یک پارک جنگلی بزرگ رسیده‌اید که در آن همه اعضای دو خانواده که چادر زده بودند، جز دو نفر بیمار شده‌اند. اگر قرار باشد شما علت بیماری را پیدا کنید باید با بیمارها مصاحبه کنید و بعد نتایج جمع‌آوری شده را بررسی کنید تا بالاخره از همه چیز سر درآورید. پرسیدن سؤالات مشترکی درباره مکان‌هایی که افراد مبتلا و افراد سالم در آنها حضور داشته‌اند، فعالیت‌های مختلفی که انجام داده‌اند و افرادی که با آنها سر و کار داشته‌اند به شما کمک می‌کند درکی از نحوه و دلیل شیوع بیماری به دست آورید. ریاضیات بیماری، موضوعی وابسته به داده‌هاست. کلید اصلی حل معماهای این رشته ربط دادن مدل‌های ریاضی با داده‌های تجربی است. این داده‌ها، ردپای آثار اجتماعی مثل تغییرات نرخ تولد یا افزایش میزان تماس آدم‌ها مثلا در زمان مدرسه را هم نشان می‌دهد. بنابراین حل کامل مسأله دینامیک بیماری (یعنی نحوه تغییرات بیماری) به ابزارهای ریاضی زیادی از خلق مدل گرفته تا حل معادلات دیفرانسیل و آنالیز آماری احتیاج دارد.
مدل‌های اساسی
تقریبا تمام مدل‌های بیماری از یک فرض اساسی شروع می‌شوند: اینکه جمعیت را می‌توان به مجموعه‌ای از کلاس‌های مشخص افراز کرد که مبنای آن تجربه‌های متفاوت مردم نسبت به بیماری است. ساده‌ترین مدل، افراد را به سه دسته مستعد، آلوده یا بهبود یافته تقسیم می‌کند. به این مدل SIR می‌گویند که از اول این کلمات گرفته شده است.
همه افراد، در حالت مستعد به دنیا می‌آیند. فرد مستعد به مریضی تا به حال با آن بیماری تماس نداشته و احتمال ابتلا به آن را دارد. فرد مبتلا در طبقه افراد آلوده جا‌می‌گیرد که می‌توانند بیماری را بین افراد مستعد پخش کنند و تا پایان دوره آلودگی در همین دسته باقی می‌ماند. با خوب شدن، فرد به دسته بهبودیافته نقل مکان می‌کند. در آخر هم فرض می‌شود که افراد بهبود یافته تا پایان عمر نسبت به بیماری مصونیت دارند.
ما می‌توانیم با استفاده از معادلات دیفرانسیل برای نسبت افراد در هر گروه، این مسأله را به شکل ریاضی بیان کنیم. اگر خیلی ریاضیات می‌فهمید و به جزئیات ماجرا علاقه دارید، برایتان این معادله‌ها را می‌گذاریم که نسبت‌های جمعیت را در سه دسته توصیف می‌کنند:
در اینجا B نرخ تولد، d نرخ مرگ،طول دوره بیماری و B نرخ تماس است. در اکثر مدل‌ها نرخ تولد و مرگ را برابر می‌گیرند و به این ترتیب مقدار جمعیت ثابت می‌ماند. با استفاده از این معادلات می‌توان شبیه‌سازی‌های کامپیوتری خلق کرد که البته با نوسانات واقعی بیماری توافق خوبی نشان می‌دهند. این نمودار را ببینید.
هر چند اول کار اپیدمی یا همه‌گیری شدیدی وجود دارد، اما به تدریج بیماری فروکش می‌کند و به یک میزان ثابت می‌رسد.
خب، حالا بیایید به این سؤال‌ها جواب بدهیم: چرا واکسن زدن ما را نجات می‌دهد و چه وقتی می‌گوییم یک بیماری ریشه‌کن شده است؟
چرا واکسن زدن خوب است؟
پارامتر اپیدمی Ro
استفاده از مدل SIR ساده نتایج جالبی به ما می‌دهد، اما قبل از آن خوب است کمی بیشتر با اصطلاحات اپیدمی‌شناسی آشنا بشویم. یک پارامتر اساسی که انتشار بیماری را کنترل می‌کند Ro ، یا نسبت باز تولید پایه است. هول کردید؟ نه نترسید! تعریفش چیز ساده‌ای است. این نسبت یعنی «تعداد متوسط بیماری‌هایی که مستقیماً توسط یک فرد آلوده در یک جامعه کاملاً مستعد به وجود می‌آید» Ro بنابراین درباره نرخ اولیه افزایش بیماری در نسل اول انتشار به ما اطلاعات ارزنده‌ای می‌دهد. اگر Ro بزرگ‌تر از یک باشد، بیماری می‌تواند وارد جامعه مستعد به بیماری بشود و تعداد مریض‌ها رشد خواهد کرد، در حالی‌که اگر Ro کوچک‌تر از یک باشد، بیماری هیچ وقت منتشر نخواهد شد. پس در ساده‌ترین حالت Ro به ما می‌گوید که هر جامعه‌ای تا چه حد در معرض خطر یک بیماری خاص است.
استفاده دیگر Ro در بررسی رفتار شیوع یک بیماری است. موردی را در نظر بگیرید که در آن یک ویروس تازه آنفلوآنزا وارد یک جامعه کاملا مستعد شده است. بررسی اولیه به ما می‌گوید که بیماری به سرعت در میان جامعه پخش خواهد شد و بخش بزرگی از جمعیت را در زمان بسیار کوتاهی آلوده خواهد کرد. در چنین حالتی می‌توان از اثر تولد و مرگ‌ها روی جمعیت صرفنظر کرد و صرفاً بر دینامیک بیماری تمرکز کرد. در چنین اپیدمی‌های کوتاه‌مدتی، در ابتدا تعداد بیماری‌ها به صورت نمایی یعنی به شکل زیر افزایش خواهد یافت:
به این ترتیب هر چه تعداد افراد بهبودیافته بیشتر می‌شود، تعداد افراد مستعد کاهش می‌یابد و انتشار بیماری کندتر شده و تعداد بیماری‌ها کاهش می‌یابد. به خاطر همین کاهش همه افراد قبل از فروکش بیماری به آن مبتلا نخواهند شد. دو نفر ریاضیدان با استفاده از همین مدل پیش‌بینی کرده‌اند که در هر بیماری تعداد افرادی که جان سالم به در می‌برند یعنی اصلا مریض نمی‌شوند، چندتاست:
می‌بینید که چنین معادله‌ای را نمی‌توان به شکل تحلیلی حل کرد، اما یک حل گرافیکی برای آن وجود دارد. (یعنی با رسم همزمان دو نمودار). این نمودار را ببینید:
نقطه برخورد خط با منحنی‌ها جواب مسأله در حالات متفاوت است. روشن است که با افزایش Ro، افراد کمتری از بیماری فرار می‌کنند. وقتی Ro، مساوی 2 است S تقریباً 20درصد افراد است اما وقتی Ro مساوی 5 می‌شود، تقریباً به 7/0 درصد می‌رسد، بنابراین افزایش Ro اثر زیادی روی تعداد افرادی دارد که از شیوع، سالم بیرون می‌آیند.
در آخر، اگر شیوع بیماری‌های محلی را بررسی کنیم، مجبوریم تغییرات جمعیت را هم وارد مدل کنیم چون تولدها به تعداد افراد مستعد اضافه می‌کند. در این حالت، رفتار طولانی‌مدت بیماری متفاوت می‌شود اما همچنان به Ro بستگی دارد. وقتی نوسانات اولیه تمام می‌شود، نسبت بلندمدت افراد مستعد در جمعیت با معکوس Ro محاسبه می‌شود
بنابراین هر چه تعداد افراد مستعد کمتر باشد، بیماری با سرعت بیشتری منتشر می‌شود! جالب است توجه کنید که میزان بلندمدت آلودگی به پارامتر Ro بستگی ندارد بلکه به نرخ تولدها و طول دوره بیماری وابسته است.
از اینجا می‌شود مفهومی را که پشت واکسیناسیون عمومی قرار دارد، فهمید. واکسیناسیون تعداد افراد مستعد را کاهش می‌دهد تا بیماری نتواند زنده بماند. در بلندمدت، هر فرد آلوده به طور متوسط فقط یک بیماری ثانویه درست خواهد کرد. (اگر این عدد کمتر یا بیشتر از یک باشد میزان آلودگی ثابت نمی‌ماند و بیماری هم به وضع ثابتی نمی‌رسد) بنابراین اگر ما تعداد افراد مستعد را کاهش بدهیم، بیماری خیلی کم شده و تقریبا ریشه‌کن می‌شود.
خب، می‌بینید که چرا ما می‌توانیم مثلا بیماری آبله را ریشه‌کن کنیم در حالی‌که سرخک ریشه‌کن نمی‌شود و با وجود واکسیناسیون بسیار گسترده، مالاریا به سختی حتی قابل کنترل است. در اینجا باید درک کرد برای ریشه‌کن کردن بیماری، لازم نیست همه اعضای جامعه واکسینه شوند. در واقع با واکسن زدن هر فرد، خطر ابتلا به بیماری در دیگر افراد جامعه کم می‌شود، پس واکسن زدن همه جامعه را حفظ می‌کند!
ارسال نظر
پربیننده